やっぱり物理が好き

素粒子物理や数学の勉強記録、海外滞在記、その他徒然日記
※「物理ブログ同盟」管理人のブログ

 ※ 各エントリーと無関係な雑談は、こちらへどうぞ >>> 雑談用エントリー
 ※ リクエスト、メッセージ等はこちらからどうぞ(お気軽に♪) >>> リクエストメール

スポンサーサイト

上記の広告は1ヶ月以上更新のないブログに表示されています。
新しい記事を書く事で広告が消せます。


にほんブログ村 科学ブログへ

※ この記事は、お役に立ちましたか?
 役に立った……ランキングに投票
 役に立たなかった……他の自然科学関連ブログが集まるランキングへ



位相空間で遊ぼう

 微分方程式やカオスの本を読んでいて、位相空間について書いてみようと思いました。
 ここでいう”位相空間(phase space)”とは、数学で言うところの位相空間(topological space)ではありません。前者は後者との区別を明確にするために”相空間”と呼ぶこともありますが、ここでは”位相空間”ということにします。


 まず、位相空間とは何か。
 運動量と座標によってはられる空間のことです。3次元1粒子系だとしたら、運動量3次元+座標3次元=6次元の空間ということになります。一般に3次元n粒子系の位相空間は6n次元となります。

 位相空間は微分方程式(いまの場合は古典力学系で考えているのでニュートンの運動方程式)の解空間と考えられます。古典力学系で興味深いのは、カオスでしょうか。
 自励系の運動方程式(微分方程式)には”リミットサイクル”というものが存在することがあります。位相空間(解空間)内を動く解軌道が、独立変数が無限大にいく極限で、ある閉曲線に近づくことがあり、その閉曲線を”リミットサイクル”と呼びます。
 この”リミットサイクル”は”アトラクター”と呼ばれるものの一種で、アトラクターがフラクタル構造となるとき(こういったアトラクターを”ストレンジ・アトラクター”という)、その力学系を”カオス”というわけです。これがカオスの定義とでもいうべきもの。専門家じゃないので詳細はわからない点もありますが。

 同じ位相空間がらみでも、今度は別の話題。

 同様に力学系を考えるわけですが、座標のみではられる空間を配位空間といいます。
 配位空間は多様体を形成します。この多様体上の1-形式場(共変ベクトル場)が運動量となり、配位空間とあわせて位相空間を形成します。そう考えると、位相空間は余接ベクトル束となります。

 たかが古典力学といえど、こうして見直してみるといろいろ遊べそうな気がします。位相空間という概念は、古典力学(だけではないですが)において重要なものだと考えています。
スポンサーサイト


にほんブログ村 科学ブログへ

※ この記事は、お役に立ちましたか?
 役に立った……ランキングに投票
 役に立たなかった……他の自然科学関連ブログが集まるランキングへ



<<物理ブログ同盟 発足 | Top | 科学おもちゃの楽しさ>>



数学的には「カオス」というのは未だ定義がはっきりしていないらしいですね。無定義語だと教授が言っていました。
「カオス理論」嗚呼!!なんて魅力的な「名前」なんでしょう!!
2005/01/21 12:54 URL by night_in_tunisia [ 編集] Pagetop△
■night_in_tunisiaさん
学問間で定義があやふやってことは、
やっぱまだまだ発展途上な分野ってことなんですかね? まさしくカオス!?
???ε??Τ??ä?褦?
ちなみに「量子カオス」は全く定義できてないと思いますが……
2005/01/21 13:41 URL by さとみ [ 編集] Pagetop△
位相空間は面白い人には面白いでしょうけどそうでない人は苦痛ですよね。
 
脳内で図をイメージ出来るか否かにかかってると思います。 
2006/04/07 16:26 URL by 川上智弘 [ 編集] Pagetop△
■川上智弘さん
位相空間で遊べると、素粒子やるのがより楽しくなりますね。
イメージは……簡単で基本的なもの(調和振動とか)を
理解できれば、とりあえずOKな気がします。
2006/04/27 15:14 URL by さとみ [ 編集] Pagetop△
ありがとうございます。











管理者のみ閲覧可能にする



Trackback
Trackback URL
» http://feynman777.blog14.fc2.com/tb.php/89-e5102d05
» FC2blog user only
| Top |
上記広告は1ヶ月以上更新のないブログに表示されています。新しい記事を書くことで広告を消せます。