やっぱり物理が好き

素粒子物理や数学の勉強記録、海外滞在記、その他徒然日記
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微分幾何(7)

 今日は気力体力も十分あったので、わりに進むことができました。いよいよ「ガウス-ボンネの定理」の勉強。そして「ファイバー束」に入ることができました。一日の勉強量が多いと、充実感があります。
 数学、楽しいですね(”ですね”って誰に向けて言っているのか不明)。

 今日の勉強内容は、


6 微分幾何学
 6-5 リーマン幾何学
 6-6 ガウス-ボンネの定理
 6-7 一般相対性理論

7 ファイバー束
 7-1 ファイバー束
 7-2 ファイバー束の種類

です。

 リーマン幾何は、昨日の続き。リーマンの曲率テンソルが登場。一般相対論だなぁ。
 ガウス-ボンネの定理は、どれくらい理解したかは不明ですが、だいたい雰囲気はつかめたと思います。なんというか、なかなか美しい定理ですね。まだ位相幾何をきちんと勉強していないので、いずれ勉強しようと思いました。そういえば修論のときに少しだけ勉強したなぁ。あまり覚えていません。まずい、勉強しよう。

 微分幾何の章のラストは、一般相対性理論です。等価原理(加速度運動による見かけの力と重力は同等)、一般相対性原理(すべての物理系は物理現象の記述において同等)という二つの原理が基本になります。
 このテキストは一般相対論のテキストではないので天下り的というか読み物的にですが、アインシュタイン方程式まで書いてあります。アインシュタイン方程式の意味するところは、時空の各点における曲率は、物質のエネルギー密度に等しいということ。
 最後にほんの少しだけ、例としてシュワルツシルト計量のことに触れています。アインシュタイン方程式の基本的な解であり、ここからブラックホールという概念が導き出されます。

 ファイバー束、はじめに定義を読んだときは全然意味がわからなかったのですが、しばし考えてどういうものか(少し)理解しました。メビウス帯を例にとって話が進められていますが、やっぱりこうして具体例を見せてもらった方がわかりやすいです。
 次に接ベクトル束(接束)、余接ベクトル束、主ファイバー束(主束)を導入。このへん、わかったような、わからないような。やっぱり「ファイバー束」そのものをまだ理解してないのだろうか。構造群と変換変数の導出が、どうも壁になっているもよう。
 明日はこの節の復習からはじめたいと思います。



【旧ブログへのコメント】

>数学、楽しいですね(”ですね”って誰に向けて言っているのか不明)。
ときどき、自分が今どこを歩いているのか(どこに向かっているのか)解らなくなるときがありますが、ふと、ある日、ひらけた景観を見たとき、”数学やっててよかった”(ヨロコビー ゴリエ風に)と思います。いや、生きていてよかった、と思います。
その日1日は、生まれ変わった新鮮な感覚と、体の奥から沸き起こる歓喜で満たされます。

ファイバーバンドルについては、まだ私も”これだ!”という確かなものがないので、ここには書きません。
(不確かなことを書いて、迷惑かけるといけないので!)

でも3年以内には、幾何学全般についても、自分自身の中に確立できるように(大域解析学、特性類、K-Theory、リーマン多様体、リー群・無限次元リー環、ゲージ理論を含む)、現在計画中です。

Posted by calc at 2004年11月15日 23:40


■calcさん
> その日1日は、生まれ変わった新鮮な感覚と、体の奥から沸き起こる歓喜で満たされます。
わかります、その感覚!
私の場合、数学だけでなく(当然ですが)物理でもそうです。
自分の感性がクリアになったように思います。
「生まれ変わった新鮮な感覚」って、素敵な表現ですね。
ファイバー束って、やっぱり難しい概念なんですね。
とりあえずゲージ場をイメージできるようになりたいです。
calcさんも、いろいろと計画を立てて勉強なさっているんですね。
私もあと3年以内くらいに博士号を取ることを目標としています。
お互いがんばりましょう!
Posted by さとみ at 2004年11月16日 11:15
>ファイバー束って、やっぱり難しい概念なんですね。
もう1か月もしたら、ファイバー・バンドルについて私の中でまとまりそうなので、そうなったら書きますね。
実は、そんなに難しくないのです。
(でも、予備知識は必要です)

Posted by calc at 2004年11月16日 16:22


■calcさん
そっか、ほんとは難しくないんですか。
うーん、だったらなぜ理解できないんだろう??
calcさんがおっしゃってる「予備知識」が足りないんでしょうかね?
> そうなったら書きますね。
楽しみにしています!
お書きになった際、お手数じゃなかったら、
ここ数日の記事にでもトラックバックしてください!
(この先に書くかもしれない関連記事でも構いません)

Posted by さとみ at 2004年11月16日 23:23
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