やっぱり物理が好き

素粒子物理や数学の勉強記録、海外滞在記、その他徒然日記
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多様体(9)

 多様体の勉強記録をずっとサボってました。言い訳すると、ここんとこ場の理論やSUSYの勉強に時間をさいていて、多様体の進度がかなり遅かったからです。

 そろそろ勉強記録を書いておきましょう。

 最近の勉強した範囲は、

『多様体の基礎』
第2章 Cr級多様体とCr級写像
 7.Cs級関数とCs級写像
第3章 接ベクトル空間
 8.接ベクトル空間
 9.Cr級写像の微分

の途中までです。

 恥ずかしながら、最初、関数と写像の違いがわかりませんでした。要は、

 f : X → Y

という写像fがあったとき、Yが実数(もしくは複素数)のときに、fを関数と呼んでいるのですね。読んでいて「どっちも写像やん!」と思っていたのですが、どっちも写像でいいんですね、一応。

 接ベクトル空間は、前にほかのテキストで勉強したことはあるのですが、このテキストのほうがわかりやすかったです(私にとっては)。具体例として接平面をイメージしとけばいいでしょう。

 写像の微分ですが、定義を見ても、なぜこれを微分と呼ぶのか「???」という感じだったのですが、ちゃんとフォローがありました。ここで微分と定義されている写像は、”ヤコビ行列によって表現されているから”だそうです。そういわれると、わかったような気になりますが……いろいろ考えてみても、わかるような、わからないような……。

 なんだか難しいなぁ。
 イメージしにくいもの、すでにある知識と容易につながらないものは難しく感じます。きちんと自分の頭で考えて理解していかねば。
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私の学生時代のイタタ・・・な体験告白をトラックバックさせていただきました。てへ
2005/11/30 11:15 URL by mathesis [ 編集] Pagetop△
■mathesisさん
トラックバックありがとうございます。
なるほどね~ おっしゃりたいこと、わかりました(笑)
周りの空間を意識してはいないけど、
例えばS^2を球面としてイメージしたら、同時に周りに空間もありますしね。
その場合、接平面も、そのまま平面を思い浮かべるでしょう。
でも「座標変換のつながりだけが実質的なもの」というのも納得。
それをわかったうえで、あくまで理解の助けとして(理解そのものではない)、
「空間の中の曲面」をイメージするのは良いのではないでしょうか?ダメ?
物理で使う場合は、そのほうがやりやすいな~
(直感的に物理的な帰結を導きやすい場合もあるので)

ところで、mathesisさんのブログ、はてなユーザーしか
コメントできないんですね。(T_T)
2005/11/30 11:27 URL by さとみ [ 編集] Pagetop△
>ところで、mathesisさんのブログ、はてなユーザーしかコメントできないんですね。(T_T)

あっ、すみません。今設定しなおしました。

>なるほどね~ おっしゃりたいこと、わかりました(笑)

それはよかった。私、これで結構悩んだんですよ(笑)

>あくまで理解の助けとして(理解そのものではない)、
>「空間の中の曲面」をイメージするのは良いのではないでしょうか?

ここだけの話ですが、例えば接続とか曲率とかの発想の源泉は、実は「空間の中の曲面」にあるので、そこを一度は経験するのは重要なんですよ。

>物理で使う場合は、そのほうがやりやすいな~

うーん、これは場合によるかも。
例えば、接束の幾何の場合はまだいいんですが、一般のベクトル束を考える場合は使えないんじゃないですかねぇ。
そういう意味では「外部を考えない」というのは、物理でも有効かも。
2005/11/30 12:09 URL by mathesis [ 編集] Pagetop△
勉強、進んでいるようですね。私の方は、昼間はなかなか時間取れず、ファインマン物理学は深夜読んでます。で、気がつくと畳の上で寝てるんですけどね(笑)。あ、それと物理ブログ同盟に参加させて頂きましてありがとうございます。
2005/12/01 17:32 URL by POPPY [ 編集] Pagetop△
例えば,一般相対性理論では,時空はローレンツ多様体ですよね.これが,或るユークリッド空間に埋め込まれていると考えるのと,「外部」を考えずに存在すると考えるのでは,数学的には同値でも感覚的には大分違いますよね.それに,時空がユークリッド空間に埋め込まれていたとしても,我々が時空内に張り付いている限り,その「外部」は調べようがない訳です.つまり多様体の上で定義された量なり概念は「外部」に関係なく得られなければ困ります.「空間の中の曲面」をイメージするのは悪い事ではありませんが,mathesis さんの書いている通り,場合によるでしょう.
2005/12/04 05:58 URL by とおりすがり [ 編集] Pagetop△
レス遅れました。

■mathesisさん
> これは場合によるかも。
確かに、場合によりますね。^-^;
思考法ってのは、臨機応変に対応しないとダメですね~
というわけで、
> 「外部を考えない」というのは、物理でも有効かも。
納得です。
考えている対象によっては、「外部を考えない」ほうが良さそうですね。

■POPPYさん
> 勉強、進んでいるようですね。
ぼちぼちです。^-^;
多様体の進度が相当遅くなりましたが、
その分、ここ数日はSUSYの復習やら今後の計画立案やらをしてました。
なかなか軌道にのりませんが。^-^;;;
お互いがんばりましょう!^-^

■とおりすがりさん
mathesisさんへのレスでも書きましたが、
おっしゃるとおり、場合によりますね。
まあ、思考法というのはひとつじゃないわけで、
その都度、臨機応変に理解なり思考なりすることでしょう。
2005/12/05 21:05 URL by さとみ [ 編集] Pagetop△
空間の中に埋め込まれた曲面や接平面は、是か非かなんてまるで気にせず、使えるときはイメージでも計算にでも使いますね。
埋め込み方に依存するような情報を使わなければ、結果を信用してかまわないんですから。
2006/08/01 18:15 URL by hirota [ 編集] Pagetop△
◆hirotaさん
そうですね。
なので、上では「臨機応変に」とコメントしました。
2006/08/02 05:30 URL by さとみ [ 編集] Pagetop△
ありがとうございます。











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空間の中の曲面-空間=?
多様体というものを初めに学ぶとき、「空間の中の曲面」のようなものをイメージしませんか? また接平面というとき「空間の中の曲面に接する平面」をイメージしませんか? もし、そうなら・・・ あなたは多様体がわかっていない!(ビシッ) ガーン(@@;) なんちって 極私的数学2005/11/30 11:09
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