やっぱり物理が好き

素粒子物理や数学の勉強記録、海外滞在記、その他徒然日記
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複素多様体講義

 本屋に行ってぶらぶらしていたら、自然科学の専門書コーナーで、気になる本を見かけました。

『複素多様体講義』S.S.チャーン著(シュプリンガー・フェアラーク東京)

 チャーンって、Chern-Simon類のチャーンですよね。チャーンがUCLAで行なった講義の講義メモをもとに書かれたものだそうです。この本の半分近くを占める”付録”は、カナダ数学会の夏季セミナーで行なわれた講義だそうです。

 ……先日『電磁場とベクトル解析』を買ったばかりで、絶対読む暇はない。
 が、どうしても我慢できなかったので、本屋を出て大学の書籍部へと向かい、購入してきました。

 ということで、恒例の目次を。

第1章 定義と例
第2章 ベクトル空間上の複素構造とエルミート構造
第3章 概複素多様体と積分可能条件
第4章 層とコホモロジー
第5章 複素ベクトル束とその接続
第6章 正則ベクトル束と直線束
第7章 エルミート幾何学とケーラー幾何学
第8章 グラスマン多様体
第9章 グラスマン多様体上の曲線

付録 特性類の幾何学
 1.歴史的な注意と例
 2.接続
 3.ヴェイユ準同形
 4.2次不変量
 5.ベクトル場と特性数
 6.正則曲線
 7.3次元多様体のチャーン-サイモン不変量

 いやもう、わくわくしますね。これらを理解できたら、相当楽しいだろうなぁ。ちなみにこの場合の”理解”とは、数学を専門としている人たちレベルの理解ではありません。そこまで到達できないし、目標にもしていません。

 さて、この本、私はいつ読めるのでしょうか。積読にならないことを祈ります。
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夢への滑走路のPOPPYです。
リンクしていただいて有難うございます。
まだFC2初心者なので何かわからないことがあったらお聞きすることがあるかもしれませんので、宜しくお願いします。
2005/11/14 15:05 URL by POPPY [ 編集] Pagetop△
これ、いいと思いますよ。
付録のところは、多分森田「微分形式の幾何学2」と狙いは同じだけど、結構香ばしい話が出てますね。

>私はいつ読めるのでしょうか。
うーん、前に和達三樹さんの微分・位相幾何読んでるんだったら、読めるんじゃない?マジで。
2005/11/14 15:32 URL by mathesis [ 編集] Pagetop△
■POPPYさん
こんにちは。
FC2は、かなりカスタマイズできるので、楽しいですよ。
ほかにもいくつかブログを運営してますが、
非常に使いやすいです(慣れれば)。
今後ともよろしくお願いいたします。

■mathesisさん
このテキスト、mathesisさんもいいと思うんですね。^-^
付録はすごいですね。ある意味、メインはこっちとか?
> 前に和達三樹さんの微分・位相幾何読んでるんだったら、読めるんじゃない?
読めるかなぁ?
和達氏のテキストも、どこまで理解できてることやら。
でもがんばります。^-^
2005/11/15 13:22 URL by さとみ [ 編集] Pagetop△
>このテキスト、mathesisさんもいいと思うんですね。^-^

チャーンは特性類を作ってきた人たちの一人ですから。

>付録はすごいですね。ある意味、メインはこっちとか?

ああ、そういえば付録しか見てないや(笑)
ミルナー・スタシェフの「特性類講義」も名著ですが、あれはトポロジーがメインなんで、曲率との関係云々は付録でちょろっとしか書いてない。
そこの参考文献にあるのが
S.S.Chern "Geometry of characteristic classes" to appear
で、それが上の付録でしょ。

物理で今も役に立ちそうってのはチャーン・サイモンズとかですかね。
インスタントン数(これが実は数学ではポントリャーギン数とか第二チャーン数のことだったというのは最近知った)がトポロジー的な不変量というのは別に数学ではそういうことになってるみたいっていうんでいいんでしょ?(微分幾何では、座標変換で不変ってところは変換群の不変多項式の性質から分かるはずだけど)
2005/11/15 17:32 URL by mathesis [ 編集] Pagetop△
電磁場とベクトル解析、難しそうだけど面白そうですね。実は私、ある大学で電磁気を教えているんですけど、1年生対象で、しかもベクトル解析の知識がみんなないので、とりあえず、高校の物理の復習しながら教えてます。
2005/11/15 20:30 URL by POPPY [ 編集] Pagetop△
■mathesisさん
> チャーンは特性類を作ってきた人たちの一人ですから。
できる研究者が、いいテキストを書くとは限らないかなぁと思って。(^-^;
いえ、いいんです。(^-^;
> ああ、そういえば付録しか見てないや(笑)
そうなのかーッ!(笑)
なんか、すごく参考になりました(笑)
> 物理で今も役に立ちそうってのはチャーン・サイモンズとかですかね。
ですね。
そうそう、インスタントンとかもやりましたよ~
(「ポントリャーギン数とか第二チャーン数」は知らないけど……)
ああいう話、好きなのです。なので、もっと理解したいなぁと。

■POPPYさん
物理学科のベクトル解析は、電磁気をやる前に知らなければ、
電磁気で学ぶのがイメージを伴ってていいかも?
この日本語、ちょっと変ですが意味通じます?(笑)
ベクトル解析を電磁気学を通じて学ぶ、という意味ね。
(もちろん、ベクトル解析を先にやってるほうがいいのは当然ですが)
2005/11/15 22:02 URL by さとみ [ 編集] Pagetop△
 さとみ様

 こんばんわ。EROICAです。ここのコメントを読んでいたら、私が今読んでいる、理工系の基礎数学シリーズの最終巻の「微分・位相幾何」を、もうさとみ様は読まれているのですね。

 私が10冊の本の最後の楽しみとして置いておいたのに。

 この本、どの程度数学的に厳密か分からないけど、かなりハイレヴェルなことまで、一冊で書いちゃってますよね。ヤン・ミルズ接続とか。

 この本をブログで、失われている証明を全部補って、講義するの恐くなってきた。

 でも、私がやらなければ、誰もやってはくれない。

 がんばります。
2005/11/16 00:46 URL by EROICA [ 編集] Pagetop△
面白そうですね。買おうかな。本屋で一度見てからにします。
2005/11/16 08:15 URL by calc [ 編集] Pagetop△
>できる研究者が、いいテキストを書くとは限らない
それはそうですね。ただし、この本に関しては、創始者であることはいい方向に働いています。

ところで、物理でいうインスタントンが実は(反)自己双対接続であるというのも最近知りました。多分(反)自己双対であることが物理的にはなんか意味があるのだと思うんですが、物理は知らんのでよくわかりません。

チャーン数とかポントリャーギン数ってのは、オイラー数みたいなもんです。
で、オイラー数っていうのは、曲面でいうと穴ボコの数(あるいは曲面から球面への写像の覆い具合)とか、あるいは曲面のベクトル場における不動点の個数と種類に関係がありますね。
2005/11/16 12:01 URL by mathesis [ 編集] Pagetop△
EROICAさん:
(「微分・位相幾何」)
>どの程度数学的に厳密か分からないけど、

微分形式とか接続・曲率の理解には十分じゃないかな。
学習においては、何か重要かが第一で、厳密性はその後のことだと思いますね。

>かなりハイレヴェルなことまで、
>一冊で書いちゃってますよね。

ああ、でも難しい話はサラッと流してますね。
実際、物理で使うのって4次元までですよね。だからn次元の一般論って必要ないかも。

>ヤン・ミルズ接続とか。

ヤン・ミルズそのものは任意の次元で考えられるけど、自己双対、反自己双対な接続っていうのは、4次元しかないんだよね。
n-2=2となる次元が4だからってことなんだけど。
2005/11/16 14:40 URL by mathesis [ 編集] Pagetop△
■EROICAさん
和達氏の「微分・位相幾何」ですね。
ちょうど一年前の今ごろに読んでいました。
まだ理解が十分とはいえないので、最近ちょくちょく読み返しています。
ブログでの講義、読ませていただきますので、
がんばってください!

■calcさん
calcさんもお買いになられたようですね!
いまからcalcさんのブログにコメント書きに行きます!

■mathesisさん
> この本に関しては、創始者であることはいい方向に働いています。
それは良かったです!
創始者の論理展開とか、興味あるしなぁ。
> (反)自己双対であることが物理的にはなんか意味がある
思わず修論を引っ張り出しました(笑)
要は、4次元時空をユークリッド化して考えた際、
無限遠で場の強さがゼロになるように要請すると(このへんが物理的)、
(反)自己双対という条件が出てくるようです。
> チャーン数とかポントリャーギン数ってのは、オイラー数みたいなもんです。
ああ、そういえばチャーン数は勉強したな……
オイラー数も「なんとなくこんなもの」という感じの理解だけかも。(^-^;

こっちにもレスしちゃおう。

> 学習においては、何か重要かが第一で、厳密性はその後のことだと思いますね。
その通りだと思います!!
(レスはこれだけですが、同意したかったもので(笑))
2005/11/17 16:07 URL by さとみ [ 編集] Pagetop△
>4次元時空をユークリッド化して考えた際、
>無限遠で場の強さがゼロになるように要請すると
これは(ラグランジアンの)積分が収束する条件ですね。

>(反)自己双対という条件が出てくるようです。

多分、積分が極値になるという条件が必要だと思います。
2005/11/18 07:25 URL by mathesis [ 編集] Pagetop△
■mathesisさん
> これは(ラグランジアンの)積分が収束する条件ですね。
最小作用の原理かな? それとは違うのかな?
場がゼロになる=Lagrangianの中に入っている場に対する条件です。
なので、どちらかというと、
「場は、ずーっと遠くではなくなっちゃうのが自然だよね」
という物理的解釈によるものだと思われます。

> 積分が極値になるという条件
これが最小作用の原理のことですね、おそらく。^-^
最小作用の原理=作用(Lagrangianの時間積分)が
極値をとるように運動する、という解析力学の基本原理です。
(mathesisさんだったら既知なものかな?)

そもそもインスタントンの話でしたよね。
インスタントンとは、mathesisさんがおっしゃるとおり、
(ユークリッド化された)作用が極値をとるようなものです。
かつ、作用が有限の値をとるものです。
そのために、無限に遠いところでゼロになることを要請するようです。
(そういうゲージをとるわけです)
2005/11/19 09:07 URL by さとみ [ 編集] Pagetop△
さとみさん:
私のブログにコメントありがとうございます。FC2のブログに移転してだいぶ使い方がわかってきました。確かに慣れれば使いやすくていろいろカスタマイズできて楽しいですね。今後ともよろしく!です。
2005/11/19 09:49 URL by POPPY [ 編集] Pagetop△
>場がゼロになる=Lagrangianの中に入っている場に対する条件です。

これはユークリッド化によって出てきた条件ではないですかね。
多分コンパクトな多様体であれば(4次元)体積が有限なので、必要ないかと

>> 積分が極値になるという条件
>これが最小作用の原理のことですね、おそらく。^-^

そうだと思います。
で、実は極値になる場合は、自己双対か反自己双対の場合で、その場合には積分が特性類(ポントリャーギン類)のそれと等しくなる、ってことのようですね。
2005/11/19 15:08 URL by mathesis [ 編集] Pagetop△
■mathesisさん
> これはユークリッド化によって出てきた条件ではないですかね。
おそらく、おっしゃるとおりだと思います。
> その場合には積分が特性類(ポントリャーギン類)のそれと等しくなる
なるほどなるほど、なかなか勉強になりました。
そこで特性類が出てくるわけですね。
用語がまだ知識としてきちんと頭に入ってないかも。(^-^;
説明されると「ああ、あれのことか~」みたいな感じ。
2005/11/19 15:19 URL by さとみ [ 編集] Pagetop△
>なるほどなるほど、なかなか勉強になりました。

うーん、実は小林の「接続の微分幾何とゲージ理論」の丸写しだったりして(笑)

で、私が知りたかった物理的意味とは・・・

「なんで"瞬間子"(インスタントン)っていうんだ?」
2005/11/19 15:43 URL by mathesis [ 編集] Pagetop△
■mathesisさん
> 「なんで"瞬間子"(インスタントン)っていうんだ?」
インスタントンって、物理的に言うとトンネル効果チックなものなんですよ。
なので、パッと現われたりパッと消えたりする、と。
というわけで、インスタントンというのです(笑)
ちなみに鞍点解のスファレロンってのもあるんですが、
これは「いまにも落ちそう」って意味のギリシャ語からきています。
2005/11/19 17:05 URL by さとみ [ 編集] Pagetop△
ありがとうございます。











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