やっぱり物理が好き

素粒子物理や数学の勉強記録、海外滞在記、その他徒然日記
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多様体(5)

 今日が休日なのに気づかず仕事に行った旦那と、同じく気づかず笑顔で送り出した私。……まあ、いいでしょう。逆(仕事があるのに休みと勘違い)よりは、まし。

 ということで、私も昼間はふつうに勉強していました。
 ちなみに昨日は場の理論と SUSY にかかりきっていたため、多様体の勉強はなしでした。今日は多様体と SUSY を勉強していたら、今度は場の理論がちょっとしか進まなかったです。時間の使い方をうまくして、一日三つの勉強をきちんとこなせるようにならねば(ネットサーフィンしている時間を減らせばよい)。

 今日の勉強範囲は、

『多様体の基礎』
第1章 準備
 3.ベクトル空間
 4.連続写像とCr級写像

の途中までです。
 ベクトル空間はともかく、連続写像とCr級写像のあたりはまだ不慣れだったのですが、だいたいイメージがつかめました。ピン!ときた感じ。理解できると楽しいものです。

■ 連続写像
■ 同相写像
■ 位相同型
■ 偏微分可能
■ Cr級関数

の定義と解説が主です。
 連続写像、同相写像の定義が、実はいままでもやもやしていたというか何か隔たりを感じていたのですが、ようやく理解できたように思います。同相写像は、よく理工系向けのテキスト等では、

 より近い点は近くに写す

のように書かれていますが、それと定義とがいまいち結びついていなかったのです。頭の中で。それがリンクしたような気がします(気のせいだったりして)。
 簡単なことだったのですね(わかると気が大きくなる)。

 明日は、何をどこまで進められるでしょう?
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 さとみ様

 確かにネットサーフィンやってると時間がいくらあっても足りませんよね。
 ところで、いよいよ同相写像の定義を読みましたね。
 17ページの定義を読んで、若き私は、fインバースの連続性を要求するのは、条件過多ではないか?と思ったのです。
 これが前回コメントしたことです。
 微分可能多様体ではヤコビ行列を考えることで、明らかです。
 でも、位相多様体の場合ペアノ曲線のような例があるので、明らかではないのです。
 これが証明できるということが、私が前回書いた「集合論的位相幾何学」の定理です。
 薄い本なので、多様体の基礎を読んだ後、連休などを利用して、一気に読んでしまうという手もあります。
 それではまた。
2005/11/03 22:27 URL by EROICA [ 編集] Pagetop△
はじめまして

理系(文系)大学院生の一日を日々徒然に書いているhollyfrogと申します

僕(以後、オイラと書かせてください)は数学専攻で解析を主に研究してるんですが
「多様体の基礎」はある程度、頑張ったことがあります

いや、普通に3冊を同時にやるのって大変ですヨ
オイラは2冊を同時にやるのも踏んだりけったりな状態です<(_ _;)>
オイラも少しは多様体を勉強しないとな…
お互い頑張りましょう

よかったらオイラのページも遊びに来てください
ブログランキングにこっそり参加してたりしてます(*^_^*)
2005/11/04 02:00 URL by hollyfrog [ 編集] Pagetop△
■EROICAさん
まあ私の場合、目的があって(必要があって)ネットサーフしてたりするんですが、
ただ、効率良くしないとなぁという感じです。
最近は、RSSリーダーを使うようになって、
以前に比べてだいぶ効率が良くなりましたが、まだまだですね。
テキストは、次に読む本、その次の本まで予定があるので、
たぶん、そうそう違うものは読まないかも?
予定は未定ですけどね。

■hollyfrogさん
はじめまして、hollyfrogさん。
> 理系(文系)大学院生の一日を日々徒然
あ! 読んだことあります!
> 普通に3冊を同時にやるのって大変ですヨ
はい、大変です(笑)
ただ、一冊は復習なので、なんとかなるかな~と。なってないけど。
もう一冊も、いま勉強してるとこは復習だし。
> オイラも少しは多様体を勉強しないとな…
> お互い頑張りましょう
がんばりましょう!^-^
2005/11/04 09:05 URL by さとみ [ 編集] Pagetop△
 さとみ様

 ここ数日、初めて私のブログにコメントがつきました。それで気をよくして、ブログを少し整理しました。
 以前読んでください、と申し上げたのは、「デザートを味わおう!」という投稿です。この投稿の前半のテイラー展開の話は、さとみ様ならご存じのことなので、読み飛ばしてください。後半の、tanx のテイラー展開の話からが、デザートです。そこからなら、余り長くありません。分数に場所を取られているだけです。
 ところで、この「やっぱり物理が好き」をリンク集に加えたいのですが、よろしいでしょうか。一応、私は、いつも相手に確認を取ってからリンクを張っているものですから。
 それでは、お互いがんばりましょう。
2005/11/05 00:48 URL by EROICA [ 編集] Pagetop△
■EROICAさん
ブログ、カテゴリー分けしないと、
記事が増えてきたときに過去の記事を探しにくいですからね。
記事の整理、お疲れ様でした。
数式、いっそのこと画像にしてしまったらどうでしょう?
そうしたらスッキリ見やすくなるかもしれません。
リンクの件は、問題ありません。
ありがとうございます。
> それでは、お互いがんばりましょう。
がんばりましょう!
2005/11/05 09:23 URL by さとみ [ 編集] Pagetop△
>(同相に)fインバースの連続性を要求するのは、条件過多ではないか?

うーん、どういう条件ならEROICA氏は満足なんだろう?(^^;)
2005/11/10 17:43 URL by mathesis [ 編集] Pagetop△
■mathesisさん
> うーん、どういう条件ならEROICA氏は満足なんだろう?(^^;)
……さぁ?(^-^;
ただ、「若き私は」と限定してらっしゃるので、
当時は満足してなかったけど、いまはOKということなんじゃないでしょうか?
後の文章を読むと、そんな感じ。違うかな?
2005/11/11 14:48 URL by さとみ [ 編集] Pagetop△
全単射かつ連続(逆写像が開写像(開集合を開集合に写す))だが同相でない最も簡単な例。

X={0,1}

X_dis Xに離散位相(discrete topology)をいれる
開集合の集合:{{}、{0}、{1}、{0,1}}
X_tri Xに密着位相(trivial topology)をいれる
開集合の集合:{{}、{0,1}}

id:X_dis→X_tri
は、全単射かつ連続だが、同相ではない。
2005/11/28 11:38 URL by mathesis [ 編集] Pagetop△
  さとみ様

 EROICAです。ここでこんな会話があったのは気付いていませんでした。
 私が前回のコメントと言っているのは、10月31日のさとみ様の投稿に対するものであり、そこで述べたように、アールm,アールnには、通常の位相を入れる場合を考えています。
 若き私は、通常の位相を入れた場合しか知りませんでしたし、「多様体の基礎」でも17ページではそういう仮定になっています。
 その場合、逆写像の連続性は、条件に入れなくても、必然的に導かれる。ということを予想した、と言うわけです。
 その後、いろんな位相の入れ方があることも知り、一般の位相空間の同相写像の定義には、逆写像の連続性も必要であることを理解しました。
 「多様体の基礎」では、一般の位相の場合の予行演習として、17ページの定義があるので、後々のために、同相写像の定義に逆写像の連続性も述べた。というように理解すれば、17ページの定義は妥当といえる。
 と現在の私は考えています。
 ただ、易しい本でも、ちょっと気になったことをじっくり追求してみると、視野が開けてくる。というのが、一番言いたかったことです。
2005/11/29 13:02 URL by EROICA [ 編集] Pagetop△
  さとみ様

 EROICAです。上に述べた予想がどう解決されるかは、私のブログで、ゆっくりと、証明していくことにしました。
 集合論的位相幾何学というカテゴリーを作ったのです。これは、大学2回生の時からの宿題です。
 楽しみにしていて下さい。
2005/11/29 13:14 URL by EROICA [ 編集] Pagetop△
EROICA様

私としては貴方様の予想には何ら異論を挟むものでは御座いません。

ただしR^nを前提していたとしても、同相写像の定義は一般の場合に成り立つ形で行うものだと思います。
2005/11/29 17:17 URL by mathesis [ 編集] Pagetop△
■EROICAさん、mathesisさん
> ただしR^nを前提していたとしても、同相写像の定義は一般の場合に成り立つ形で行うものだと思います。
同感ですが、何度も「若き私」とおっしゃってるので、
あくまで「若い頃はそう思ってた」というだけではないかと……

> 上に述べた予想がどう解決されるかは、私のブログで、ゆっくりと、証明していくことにしました。
ということですので、その後の展開はEROICA
さんのブログで
続けてくださると私も読みやすいです。
(もちろんmathesisさんのブログでもいいですが(笑)←読んでますよ~)
2005/11/29 17:57 URL by さとみ [ 編集] Pagetop△
ありがとうございます。











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