やっぱり物理が好き

素粒子物理や数学の勉強記録、海外滞在記、その他徒然日記
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微分幾何(5)

 昨日わからなかったガウス曲率のところから勉強を再開しました。
 土曜日なせいか、ちょっと集中できなくて、いまいち進まず。時間数が少なかったとしても、ちゃんと集中して勉強せねば。

 今日の勉強内容は、


6 微分幾何学
 6-2 空間内の曲線
 6-3 平行移動

です。

 ガウス曲率、結局まだピンとくるようなこないようなという感じ。このテキストは理工系のためのものなので、あまり詳細には触れてないもよう。このテキストが終わったら、理工系向けではない微分幾何のテキストを勉強する予定なので、そうしたら理解できるのかも。
(いきなり数学専攻向けのテキストを勉強するのは気後れがして、先に理工系向けの本で下地を作ろうとしたのでした)

 平行移動に関しては、ディラックの「一般相対性理論」で以前に勉強した内容とほぼ同じようなことなので、比較的理解しやすい。
 この後、6章の終わりまでは「一般相対性理論」での内容が結構出てくるのでとっつきやすいかも。ああ、でもガウス-ボンネの定理は未勉強だな……(ほとんど独り言と化す――最初からか)。



【旧ブログへのコメント】

>ああ、でもガウス-ボンネの定理は未勉強だな
私が言うのもおかしいですが、最初から全てを理解しようとすると沈没するので、微分形式とその積分が、2次元・3次元の空間で、きちんとイメージ・運用・計算できればいいかと。グリーン・ガウスの定理なんて、よく使いますよね。

ストークスの定理をイメージで言うと、
(dω、D)=(ω、∂D)
です。これを、1次元で書くと
∫(df/dx)dx=f(b)-f(a) (積分は、閉区間[a,b])
ですから。

この本では、ガウス曲率、ガウス-ボンネの定理の詳しい説明はない、いう印象があります。これは、別の本で補えばいいかと。

Posted by calc at 2004年11月14日 16:43


■calcさん
コメントありがとうございます!
> 最初から全てを理解しようとすると沈没する
おっしゃるとおりです(笑)
そんなだいそれたこと、思ってませんよ~(^-^;
基本的に、数学や物理って「全てを完全に」理解することはできないと思ってます。
ストークスの定理を微分形式で書くと、そうなるんですね。
まだ、微分形式に慣れていないようです……
ガウス-ボンネの定理についてはこれから勉強しますが、7ページくらいです。
純粋数学ではなく理工系向けの数学テキストですからね~
この記事にも書きましたが、
いまのテキストを終えたら、もうちょっと純粋数学の「微分幾何」を読む予定です。
そうしたら、もうちょっと理解が進むかもと期待しています。^-^

Posted by さとみ at 2004年11月14日 20:31


相対論や量子力学をやってらっしゃると思うので、リーマン多様体やリー群・リー環(ゲージ理論)、ヒルベルト空間論も必要ですよね。

でも、3次元ユークリッド空間内の微分幾何(+ベクトル解析)がどれだけ具体的にイメージできるかで、違ってくると思うのです。

話変わりますけど、私のサイトから、片側リンク貼らせてもらいますね。

Posted by calc at 2004年11月14日 21:44


■calcさん
リーマン多様体、リー群、ゲージ理論は必須ですね。
リー群とゲージ理論は、物理や物理数学の本でも勉強しましたが、
もうちょっときっちり勉強したいと思っているところです。
> 3次元ユークリッド空間内の微分幾何(+ベクトル解析)がどれだけ具体的にイメージできるか
なるほど!
確かに、3次元ユークリッド空間が基本なわけですもんね。
リンク、ありがとうございます!
ちょうど、うちもcalcさんとこにリンクさせていただきたいなと思っていたので、
うちからもはらせていただきますね。

Posted by さとみ at 2004年11月15日 21:38
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