やっぱり物理が好き

素粒子物理や数学の勉強記録、海外滞在記、その他徒然日記
※「物理ブログ同盟」管理人のブログ

 ※ 各エントリーと無関係な雑談は、こちらへどうぞ >>> 雑談用エントリー
 ※ リクエスト、メッセージ等はこちらからどうぞ(お気軽に♪) >>> リクエストメール

スポンサーサイト

上記の広告は1ヶ月以上更新のないブログに表示されています。
新しい記事を書く事で広告が消せます。


にほんブログ村 科学ブログへ

※ この記事は、お役に立ちましたか?
 役に立った……ランキングに投票
 役に立たなかった……他の自然科学関連ブログが集まるランキングへ



微分幾何(4)

 旦那のSUSYの講義以外は、今日はもっぱら微分幾何の勉強をしていました。難しいけれど、なかなか楽しい。やっと基礎的なところを終えて、面白いところに突入です。

 今日の勉強内容は、


3 多様体
 3-5 リー微分
 3-6 ポアンカレの補題の逆
 3-7 ハミルトン力学

6 微分幾何学
 6-1 空間曲線
 6-2 空間内の曲線

です。

 昨日に引き続きリー微分から勉強しました。一晩経ったら昨日の疑問点が解消。脳が情報を取捨選択して、勉強した内容が整理されたのでしょう。
 ポアンカレの補題の逆とハミルトン力学の節では、ようやく物理への応用が登場しました。内容的には既知のことを外微分で言い直すだけなので、さくさく。いいですね、面白い。

 やっと「微分幾何学」の章に入ることができました。
 まずは3次元ユークリッド空間での曲線を考え、フレネ-セレの公式にたどりつきました。ここで重要なのは、

「空間内の2曲線が、回転と並行移動を使って重ねることができるための必要十分条件は、2曲線の曲率と捩率が同じことである」(テキストから引用)

 つまり、曲線は曲率と捩率によって完全に決まる。すばらしい。
 あとは外微分形式を使って空間曲線を記述しました。

 と、そこまではいいとして、曲線から曲面へと次元があがると、(私の中では)格段に難易度があがります。
 第1基本形式というのは、つまりリーマン計量のことなのだな。第2基本形式って知らなかったけれど、おおよそわかりました。
 第1構造式、第2構造式の重要性が、よくわかりません。ガウス曲率って、数式上での定義はわかるけれど、幾何学的にどういう意味があるのでしょう? わかってません、私。

 ということで、明日の目標は「ガウス曲率を理解すること」ということにしよう。



【旧ブログへのコメント】

>基礎的なところを終えて、面白いところへ

うひゃああ!さとみん、なんだかすごくいいね、ワクワクしながら勉強を進められるなんて、最高だよ、読んでいても、応援したくなるよ~!
心底、こういう分野のこと、アイシテルのね☆

行中にある
>素晴らしい。
のさとみんのコメント、気持ちがいっぱいこもっているね。

そういうさとみんこそ、
すンばらしいいぞおお~!!
がんば!だね☆

Posted by あたりん at 2004年11月12日 22:44


曲面は第一基本形式と第二基本形式で決まる (parametraizing も含めて)。 だと思った。

Gauss curvature はねえ, 確かねえ, 曲がり具合を決めるのよ。
楕円的 (球面みたいになってる), 放物的 (ある曲線に添って平面にぴったりくっつく), 双曲的 (鞍馬点のように或いはドーナツの内側のように, 方向によって凹凸が入れ替わる) ってのが分かる。
確か Gauss curvature が違うと等長的な写像が作れない, つまり, 地球上の正確な地図が平面に展開できない, とかいうのが分かったはず。
あと pinching problem とかいって, Gauss curvature がある一定の範囲にあると球面だということが (正確に言うと Euclid 球面 S^n に位相同相, 或いは微分同相であるということが) 結論出来る。 とかいうことが分かるはず。

Posted by ☆○ at 2004年11月13日 10:10


・・・さっぱり分からんけど、
さとみさんのキラキラした瞳は伝わってきます!
すごいわー、感動しちゃうわー!!
「勉強日記」の復活、改めておめでとうって感じ♪
台湾で、たくさんの収穫を得られそうね。

Posted by かぱ子 at 2004年11月13日 13:37


>ガウス曲率って、数式上での定義はわかるけれど、幾何学的にどういう意味があるのでしょう? わかってません、私。
ガウス曲率Kは、等長変換で保存される(不変)量ですね。

Kは第一、第二基本量を使って定義されているにもかかわらず、第一基本量が等しい曲面では、ガウスの曲率Kも等しい。このことを、ガウスをして、theorem egregium(驚くべき定理)と言わしめた有名な定理です。

Kの幾何学的イメージは、ガウス写像(もしくは球面写像ともいう)がイメージできると、いいかと。

Kを使った応用としては、やはり Gauss-Bonnetの定理 が定番ですね。

Posted by calc at 2004年11月13日 17:13


■あたりん
そうです、ワクワクしながら勉強してます(笑)
そうです、数学と物理は、愛しています(笑)
そういう気持ちが伝わって、嬉しいなー
勉強しながら、しょっちゅう「すばらしい!」って言ってます(笑)
応援してくれて、ありがとう~♪
がんばります♪^-^

■☆○さん
ありがとうございます!
あ、はい、曲面は第1基本式と第2基本式で決まります。
ガウス曲率で頭が止まってて、その前の曲線のほうを書きました(^-^;
放物的か双曲的かとかって、第2基本式で決まるのかと思ってました。
そっか、ガウス曲率か……
つまり、本質的な曲がり具合を表しているということでしょうか?

■かぱ子さん
台湾にくると、研究室という勉強する環境があるので、すごくいいです!
普段は自宅で勉強してますからね~
旦那と同じ部屋で勉強してると、わからないところは質問できるし。
やっぱり環境って大事ですよ!
ということで、大きな収穫が得られることと思います!

■calcさん
ありがとうございます!
ガウス曲率で最もわからなかったのは、
定義の数式と幾何学的意味とのつながりというか、
どうしてあの定義が曲率を表すことになるのかがわからないんですよ。
ガウス写像ですか……もうちょっと勉強しないとダメみたいですね~
ガウス-ボンネの定理はまだ出てきてませんが、もう少し勉強してみます。

Posted by さとみ at 2004年11月13日 21:24


Gauss map というのはですね,
絨毯のように, 曲面上の全ての点から単位法線ベクトルが生えていると思ってください。
この単位法線ベクトルを単位球面の中心に平行移動して単位球面の中心に終点を持って行きます。 これが Gauss map.
ある点の充分小さい近傍で, Gauss map を考えます。
この時, その単位法線ベクトルの終点が, 単位球面上で描いている部分の面積を符号付きで考えます。 (符号は, その近傍の縁を考え, その上をぐるりと一回りしたとき同じ向きに回っていれば同符号, 逆向きに回ると異符号と決める)
元の近傍の面積と比を取ものの極限が Gauss curvature.

だから元の曲面でいっぱい曲がっていると, 球面上に Gauss map で持って行くと単位球面上では面積が大きくなるし, 全然曲がってないと, 単位球面上では面積が 0 に近くなるという感じ。

Gauss-Bonnet の定理はここには書ききれないなぁ。

Gauss map と Gauss curvature との関係の説明も思いの外長くなっちゃったし...。

Posted by ☆○ at 2004年11月13日 21:44


始めまして。数学専攻浪人生のゆうたです。
数学(大学レベル)を始めてまだ、1年くらいの初心者ですがお邪魔させていただきます。

10月くらいから私もベクトル解析を勉強始めました。とりあえず今はガウス・グリ-ン・ストークスまでたどり着きましたが、はっきり言ってまだまだ理解できてません。あと2回くらい本を通しで学ばなあかんなぁ・・。

ガウス曲率。私も名前は聞いたことありましたがはっきり掴めてませんでした。なるほどなるほど~

またお邪魔させていただきます。

Posted by ゆうた at 2004年11月13日 22:02


■☆○さん
今日、もう少し勉強を進めてみて、
かつ簡単な例を計算してみたら、少しわかりました!
ガウス写像もなんとなくイメージできました。
ありがとうございます!
あとは、何度か触れて勉強を繰り返して理解を深めます。
ガウス-ボンネの定理は次の節かな?
これから勉強いたします。

■ゆうたさん
大学院浪人なわけですね。
私もそれでいうと、博士号取得浪人ということになるかなぁ。^-^;
修士は取って、博士課程まで進学しましたがドクター取らずに中退しました。
その後何年か経ってますが、ドクター取得を目指しています!
お互いがんばっていきましょう!
ベクトル解析は、イメージができると楽しいですね~

Posted by さとみ at 2004年11月14日 20:25
スポンサーサイト


にほんブログ村 科学ブログへ

※ この記事は、お役に立ちましたか?
 役に立った……ランキングに投票
 役に立たなかった……他の自然科学関連ブログが集まるランキングへ



<<SUSY講義(2) | Top | SUSY講義(1)>>



>驚くべき定理

曲率は計量による定義しか知らないんで、「驚くべき」と言われても分かんないなー。
(4次元しかやったことないし、曲率テンソルはループにそって一巡りしたときの平行移動ベクトルのズレだし)
なにしろ、「場の古典論(ランダウ,リフシッツ)」で相対論を勉強したときに「場の古典論に書かれてた事」+「ちょっと不足なので調べた事」だけだからなー。
(一般化されたストークスの定理 (∫_∂Ω)ω=(∫_Ω)dω は便利なので別のところで仕入れてるけど。Ω:積分領域,ω:微分形式)
2006/08/01 14:55 URL by hirota [ 編集] Pagetop△
◆hirotaさん
「驚くべき定理」は、ほかの訳し方もありますが、
その定理がそういう名で呼ばれているというだけですね。
2006/08/02 05:29 URL by さとみ [ 編集] Pagetop△
ありがとうございます。











管理者のみ閲覧可能にする



Trackback
Trackback URL
» http://feynman777.blog14.fc2.com/tb.php/14-168d5973
» FC2blog user only
| Top |
上記広告は1ヶ月以上更新のないブログに表示されています。新しい記事を書くことで広告を消せます。