やっぱり物理が好き

素粒子物理や数学の勉強記録、海外滞在記、その他徒然日記
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微分幾何(3)

 台湾時間午後2時半頃、旦那が台北出張から戻ってきました。
 今日は午前中に宿舎内で部屋を移動しなければならなかったのですが、旦那がいなくてひとりで部屋から部屋へ何往復もしました。新しい部屋は3部屋もあって、非常に快適。
 その快適な部屋の勉強机で、今日も微分幾何に取り組んだのでありました。

 今日の勉強内容は、


3 多様体
 3-3 多様体上の微分形式
 3-4 ベクトルとテンソル
 3-5 リー微分

です。

 多様体上での p-形式と外微分を定義しました。
 次に反変ベクトルを「接空間の基底である微分演算子の線形結合で表されるベクトル」として定義し、またその反変ベクトルの双対なベクトル空間として共変ベクトルを定義しました。
「双対空間」というのは、つまりは線形空間と対になって数を与える空間、内積の相棒となる空間のことなのだな。いたく納得。いままでそんなことも理解してなかったのかという感じだけれど。

 問題は、リー微分。
 まず積分曲線および積分曲線族なるものを定義しました。任意のベクトル場が与えられたとき、このベクトル場を接ベクトル空間とするような曲線のこと。それらは多様体を埋め尽くし、それらの積分曲線の集合を積分曲線族といいます。
 積分曲線に沿った微分が、リー微分。
 ここまでは、いいとしましょう。

○曲線族が多様体へのある写像を与えている

○リー微分の計算法

 この二点がわからない。
 リー微分は、明日に持ち越すことにしよう。
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>接空間の基底である微分演算子の線形結合

これって回りくどくありません?
僕の場合は、「多様体上の関数に対する微分演算子の集合」を「接空間」、その要素を反変ベクトルとしました。
ようするに、p∈M に対して接空間は
Tp(M)={v|v:Cn(M)→C,∀f,g∈Cn(M)∀a,b∈C [v(af+bg)=av(f)+bv(g),v(fg)=f(p)v(g)+g(p)v(f)]}
で、v が反変ベクトル(微分演算子)です。
2006/08/01 14:15 URL by hirota [ 編集] Pagetop△
◆hirotaさん
別に、おっしゃるとおりでいいんじゃないでしょうか。
どう理解するかは人それぞれ、回りくどい表現は数学的厳密性から、
ということですね。
2006/08/02 05:23 URL by さとみ [ 編集] Pagetop△
ありがとうございます。











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