やっぱり物理が好き

素粒子物理や数学の勉強記録、海外滞在記、その他徒然日記
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微分幾何(2)

 今日は寝不足なので、旦那も台北出張中でいないことだし、研究室へは行かず宿舎の部屋で勉強しました。昨日のうちにテキストを持ち帰ってきておいて良かった。
 それにしても、旦那がいないと寂しいだけでなく不便です。勉強していてわからないことがあっても、質問する相手がいないのだから。

 今日の勉強内容は、


2 微分形式
 2-4 星印作用素
 2-5 微分方程式
 2-6 写像

3 多様体
 3-1 多様体
 3-2 接空間

です。

 星印作用素って、いまいちよくわからない。いや概ね(って、こういう漢字だったのか)わかったような気はするけれど。要は、n次元ベクトル空間においてp-ベクトルに星印作用素を作用させたら残りの(n-p)-ベクトルを与えるということらしい。
 微分方程式に関しては、まあいいでしょう。だいたい。
 わからないのは「引き戻し(pull-back)」とよばれる写像。最終的にどういうものかはわからなくもないけれど、最初の定義の仕方が理解できない。

 多様体に関しては、座標近傍と座標近傍系を定義しました。
 それはいいけれど、次の「接空間」の概念が、まだちょっと理解があやふやな感じ。なんとなくイメージできるからいいか。

 さくさくと進んでいるようにみえるけれど、後半に進むにつれて進度は遅くなると思われます。



【旧ブログへのコメント】

お初です。

Hodge *-operator は確か duality (双対性) に使ったような記憶がある。 四次元 topology, 所謂 gauge theory で。

pull-back ってあっちのをこっちのに引き戻せるって感じじゃなかったかと。
参考にならないかも (^_^;;

Posted by ☆○ at 2004年11月11日 12:50


■☆○さん
はじめまして、☆○さん。
有意義なコメントありがとうございます!
そっか、ホッジ作用素は双対性で使う……なるほど! 確かに!
4次元トポロジーやゲージ理論でも使うんですね。
物理屋(の中でも素粒子屋)の私としては、それは重要です。
pull-back のほうは、私が読んだテキストでの定義で、
「U→Vの写像を φ 、
 V→R(ユークリッド空間)の写像を f としたとき、
 φ^* f = f・φ」
とあって、「合成写像なのに、なんで引き戻されるの?」という点が
わからなかったんです~(T-T)
合成写像での定義と、引き戻しと、どう関係があるのでしょうか?
結局、よく理解してないということなんですが……

Posted by さとみ at 2004年11月11日 19:56


いや, 単なる合成なんだけど, そうすると
f が V からの写像だったはずなのに, いつの間にか U からの写像になっている。 それはどうしてか?
それは写像 φ が f を 「V から U に引き戻した」 からだ。
と考えるのですよ。
そのうち tensor とか vector field とかの pull-back, push-out をやると何となく雰囲気が分かります (多分)。

Posted by ☆○ at 2004年11月12日 08:20


■☆○さん
(しばし、テキストをじっと見る)
おお! なるほど! そういうことですか!!
この場合、φ^* は f に作用しているということなのですね?
なんかわかったかも(勘違いだったりして)。
あとは☆○さんがおっしゃるように、
実際に使ってみないと実感できないのでしょうね。
ありがとうございます!

Posted by さとみ at 2004年11月12日 10:53
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